Quais destas relações no conjunto de todas as funções de \mathbf{Z} para \mathbf{Z} são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
\{(f, g) \mid f(x)-g(x)=1 para todo x \in \mathbf{Z}\}

Passo 1

O enunciado trabalha no conjunto de todas as funções f\colon \mathbf{Z}\to\mathbf{Z} e define a relação
R \;=\;\{(f,g)\mid f(x)-g(x)=1\text{ para todo }x\in \mathbf{Z}\}.
Queremos verificar se R é relação de equivalência, isto é, se é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Verificação da reflexividade:
Para toda função f, precisaríamos ter (f,f)\in R, ou seja,
f(x)-f(x)=1\quad\forall x\in\mathbf{Z}.
Mas f(x)-f(x)=0\neq1. Logo, R não é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria:
Se (f,g)\in R então f(x)-g(x)=1. Para ser simétrica precisaríamos que (g,f)\in R, isto é,
g(x)-f(x)=1\quad\forall x\in\mathbf{Z}.
Porém g(x)-f(x)= -\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=-1\neq1. Assim, R não é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade:
Suponha (f,g)\in R e (g,h)\in R. Então
f(x)-g(x)=1 \quad\text{e}\quad g(x)-h(x)=1 \quad\forall x.
Somando as duas igualdades obtemos
f(x)-h(x)=2\neq1,
logo (f,h)\notin R. Portanto R não é transitiva.

Resposta

A relação
\{(f,g)\mid f(x)-g(x)=1\;\forall x\in\mathbf{Z}\}
não é uma relação de equivalência, pois falha em ser reflexiva, simétrica e transitiva.

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