Quais destas relações no conjunto de todas as funções de
para
são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
para todo
Passo 1
O enunciado trabalha no conjunto de todas as funções
e define a relação
Queremos verificar se
é relação de equivalência, isto é, se é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Verificação da reflexividade:
Para toda função , precisaríamos ter
, ou seja,
Para toda função
Mas
. Logo,
não é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria:
Se então
. Para ser simétrica precisaríamos que
, isto é,
Se
Porém
. Assim,
não é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade:
Suponha e
. Então
Suponha
Somando as duas igualdades obtemos
logo
. Portanto
não é transitiva.
Resposta
A relação
não é uma relação de equivalência, pois falha em ser reflexiva, simétrica e transitiva.