Determinar o arco da curva y=log x entre os limites x=raiz3 e x=raiz8. Resp. 1+12 log 32.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = ln x
no intervalo xin[raiz3,raiz8].
O conteúdo é comprimento de arco em uma curva dada por y=f(x), usando a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de y:
y' = ddx(ln x) = 1x
Logo o integrando fica
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz1 + 1x^2 = raizx^2+1x^2 = raizx^2+1x,
pois x>0 no intervalo. Portanto
L = integralraiz3^raiz8 raizx^2+1x,dx

Passo 3

Para achar uma primitiva de , usamos a substituição hiperbólica
Quando , o integrando vira
pois .

Passo 4

Integramos termo a termo:
Assim uma primitiva geral é
Voltando a :
Logo

Passo 5

Avaliaremos de x=raiz3 até x=raiz8.
Para x=raiz8=2raiz2:
raizx^2+1=3, ln!l(tfracx1+raizx^2+1r) = ln!l(tfrac2raiz24r) = ln!l(tfracraiz22r) = -tfrac12ln2
Somando dá 3 - tfrac12ln2.
Para x=raiz3:
raizx^2+1=2, ln!l(tfracraiz31+2r) = ln!l(tfracraiz33r) = -tfrac12ln3
Somando dá 2 - tfrac12ln3.
Portanto
L = l(3 - tfrac12ln2r) -l(2 - tfrac12ln3r) = 1 + tfrac12l(ln3 - ln2r) = 1 + tfrac12ln!l(tfrac32r)

Resposta

L = 1 + tfrac12 ln!l(tfrac32r)

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