Determinar o arco da curva
entre os limites
e
. Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva
no intervalo
.
O conteúdo é comprimento de arco em uma curva dada por , usando a fórmula
O conteúdo é comprimento de arco em uma curva dada por
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada de
:
Logo o integrando fica
pois
no intervalo. Portanto
Passo 3
Para achar uma primitiva de
, usamos a substituição hiperbólica
Quando
, o integrando vira
pois
.
Passo 4
Integramos termo a termo:
Assim uma primitiva geral é
Voltando a
:
Logo
Passo 5
Avaliaremos de
x=raiz3 até
x=raiz8 .
Parax=raiz8=2raiz2 :
Para
Somando dá
3 - tfrac12ln2 .
Parax=raiz3 :
Para
Somando dá
2 - tfrac12ln3 .
Portanto
Portanto