Determinar a área do domínio delimitado por um arco de ciclóide x=a(t-sen t), y=a(1-cos t) e o eixo das abcissas. Resp. 3 pi a^2.

Passo 1

O enunciado pede a área do arco de ciclóide dado por
x = al(t - sen tr), y = al(1 - cos tr)
limitado pelo eixo das abscissas, ou seja, para t de 0 a 2pi. Vamos usar a fórmula de área sob curva paramétrica:
A = integralt1^t2 y(t),dxdt,dt

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de x em relação a t:
dxdt = al(1 - cos tr)

Passo 3

Substituindo em A=integral0^2piy,x',dt, temos
A = integral0^2pi l[a(1-cos t)r]cdot l[a(1-cos t)r],dt = a^2integral0^2pi(1-cos t)^2,dt

Passo 4

Expandimos o quadrado:
(1-cos t)^2 = 1 - 2cos t + cos^2t,
logo
A = a^2integral0^2pil(1 - 2cos t + cos^2tr),dt

Passo 5

Para calcular cada termo usamos:
integral0^2pi1,dt = 2pi, integral0^2picos t,dt = 0,
e, usando cos^2t = tfrac1+cos(2t)2,
integral0^2picos^2t,dt = integral0^2pi1+cos(2t)2,dt = 12l(2pi + 0r) = pi
Assim,
A = a^2l(2pi - 2cdot0 + pir) = 3pi a^2

Resposta

3pi a^2

Exercícios de Livros Relacionados