Determinar a área da figura delimitada pela catenária y=a2(e^xa+e^-xa), o eixo O x, o eixo O y e a recta x=a. Resp. a^22 e(e^2-1).

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela catenária
y = a2l(e^xa + e^-xar),
pelos eixos O x (isto é, y=0) e O y (isto é, x=0) e pela reta x=a.
Conteúdo: cálculo de área sob curva via integral definida.

Passo 2

A área A sob a curva de x=0 até x=a é
A = integral0^a y,dx = integral0^a a2l(e^xa + e^-xar),dx

Passo 3

Fatoramos a/2 e separamos a integral em duas:
A = a2gl(integral0^a e^xa,dx ;+;integral0^a e^-xa,dxgr)

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral0^a e^xa,dx = l[a,e^xar]0^a = al(e^1-1r),
integral0^a e^-xa,dx = l[-,a,e^-xar]0^a = al(1 - e^-1r)

Passo 5

Substituindo em A:
A = a2l[a(e-1) + a(1 - e^-1)r] = a^22l(e - e^-1r) = a^22el(e^2-1r)

Resposta

a^22el(e^2-1r)

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