Determinar a área da figura delimitada pela hipociclóide x=a cos ^8 t, y=a sen^3 t. Resp. 38 pi a^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da hipociclóide dada em forma paramétrica por
x = acos^3t, y = asin^3t,
isto é o “astroide”. Vamos usar o Teorema de Green (ou fórmula de área em parametrização)
A = 12integral0^2pil(x,y' - y,x'r),dt

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
x' = ddtl(acos^3tr) = acdot3cos^2tcdot(-sin t) = -3acos^2t,sin t,
y' = ddtl(asin^3tr) = acdot3sin^2tcdotcos t = 3a,sin^2t,cos t

Passo 3

Formamos o integrando:
x,y' - y,x' = l(acos^3tr)l(3asin^2tcos tr) ;-;l(asin^3tr)l(-3acos^2tsin tr)
Fatorando a^2:
x,y' - y,x' =3a^2l(cos^4t,sin^2t + sin^4t,cos^2tr) =3a^2cos^2t,sin^2tl(cos^2t+sin^2tr) =3a^2cos^2t,sin^2t

Passo 4

Substituímos na fórmula da área:
A =12integral0^2pi3a^2cos^2t,sin^2t;dt =3a^22integral0^2picos^2t,sin^2t;dt
Usamos a identidade cos^2t,sin^2t=tfrac14sin^2(2t), logo
integral0^2picos^2t,sin^2t,dt =14integral0^2pisin^2(2t),dt =14cdot12cdot2pi =pi4

Passo 5

Portanto
A =3a^22cdotpi4 =3pi a^28

Resposta

boxedA = 3pi a^28

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