Determinar o inteiro n=2^x 3^y 7^z, sabendo que os produtos 5 n, 7 n e 8 n têm, respectivamente, 8, 12 e 18 divisores positivos a mais que n.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos um inteiro
n = 2^x,3^y,7^z
tais que, comparando o número de divisores positivos de 5n, 7n e 8n com o de n, esses produtos têm, respectivamente, 8, 12 e 18 divisores a mais do que n. Vamos usar a fórmula do número de divisores para um inteiro: se
n = p1^alpha1p2^alpha2cdots pk^alphak,
então
d(n)=(alpha1+1)(alpha2+1)cdots(alphak+1)

Passo 2

Expressamos d(n) e os três valores dados:
  • Para 5n: o fator 5 é primo novo, entra com expoente 1, então d(5n)=2,(x+1)(y+1)(z+1) A condição é d(5n)-d(n)=8 ;Longrightarrow; 2(x+1)(y+1)(z+1)-(x+1)(y+1)(z+1)=8 ;Longrightarrow; (x+1)(y+1)(z+1)=8

Passo 3

Para 7n: se z>=1, o expoente de 7 em n é z, em 7n vira z+1; se z=0, o 7 aparece como primo novo (expoente 1). Num único caso geral fica
d(7n)=(x+1)(y+1),(z+2)
d(7n)-d(n) =(x+1)(y+1)(z+2)-(x+1)(y+1)(z+1) =(x+1)(y+1)cdot1 stackrel!=12

Passo 4

Para 8n: multiplicamos n por 2^3, o expoente de 2 passa de x para x+3, então
d(8n)=(x+4)(y+1)(z+1)
A condição é
d(8n)-d(n) =(x+4)(y+1)(z+1)-(x+1)(y+1)(z+1) =(y+1)(z+1)cdot3 stackrel!=18

Passo 5

Escrevendo as três equações juntas:
  1. (x+1)(y+1)(z+1)=8
  2. (x+1)(y+1)=12
  3. (y+1)(z+1)=6
Da equação 2 segue (x+1)(y+1)=12. Dividindo a eq. 1 por essa eq. 2 obtemos
(x+1)(y+1)(z+1)(x+1)(y+1)= 812 ;Longrightarrow; z+1=23,
não inteiro. Portanto não há solução inteira para (x,y,z).

Resposta

Não existe inteiro n=2^x3^y7^z que satisfaça simultaneamente as três condições.

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