Determinar o inteiro , sabendo que os produtos e 8 n têm, respectivamente, 8, 12 e 18 divisores positivos a mais que .
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos um inteiro
n = 2^x,3^y,7^z
tais que, comparando o número de divisores positivos de 5n, 7n e 8n com o de n, esses produtos têm, respectivamente, 8, 12 e 18 divisores a mais do que n. Vamos usar a fórmula do número de divisores para um inteiro: se
n = p1^alpha1p2^alpha2cdots pk^alphak,
então
d(n)=(alpha1+1)(alpha2+1)cdots(alphak+1)
Passo 2
Expressamos d(n) e os três valores dados:
Para 5n: o fator 5 é primo novo, entra com expoente 1, então d(5n)=2,(x+1)(y+1)(z+1) A condição é d(5n)-d(n)=8 ;Longrightarrow; 2(x+1)(y+1)(z+1)-(x+1)(y+1)(z+1)=8 ;Longrightarrow; (x+1)(y+1)(z+1)=8
Passo 3
Para 7n: se z>=1, o expoente de 7 em n é z, em 7n vira z+1; se z=0, o 7 aparece como primo novo (expoente 1). Num único caso geral fica