Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=raiz[3]x+1

Passo 1

Temos f(x)=raiz[3]x+1=(1+x)^1/3 e queremos as aproximações de Taylor (Maclaurin) de grau 2 e 3 em x0=0. Para isso usaremos a fórmula
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k
e calcularemos f(0), f'(0), f''(0) e f'''(0).

Passo 2

Primeiro derivamos f até a ordem 3 e avaliamos em x=0:
f(x)=(1+x)^1/3
f'(x)=tfrac13(1+x)^-2/3, f'(0)=tfrac13
f''(x)=tfrac13l(-tfrac23r)(1+x)^-5/3=-tfrac29(1+x)^-5/3, f''(0)=-tfrac29
f'''(x)=-tfrac29l(-tfrac53r)(1+x)^-8/3=tfrac1027(1+x)^-8/3, f'''(0)=tfrac1027

Passo 3

Agora montamos
T2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2 =1+x3-19x^2
T3(x)=T2(x)+f'''(0)3!x^3 =1+x3-19x^2+581x^3

Resposta

Aproximação quadrática (grau 2):
T2(x)=1+x3-x^29
Aproximação cúbica (grau 3):
T3(x)=1+x3-x^29+5x^381

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