Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área total do cubo.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície de uma esfera que circunscreve um cubo, em função da área total A desse cubo. O conteúdo aqui é geometria espacial: relacionar a área do cubo com seu lado, depois obter o raio da esfera circunscrita e enfim calcular a área esférica.

Passo 2

Expressamos a área total do cubo em função do comprimento do lado s. Como o cubo tem 6 faces quadradas de lado s, vale
A = 6s^2,
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s^2 = A6

Passo 3

O raio R da esfera circunscrita ao cubo é metade da diagonal espacial do cubo. A diagonal espacial mede sraiz3, então
R = sraiz32

Passo 4

A área da superfície da esfera é
S = 4pi R^2
Substituindo R:
S = 4pi l(sraiz32r)^2 = 4pi 3s^24 = 3pi s^2

Passo 5

Finalmente, substituímos s^2 em função de A:
S = 3pi l(A6r) = pi A2

Resposta

S = pi A2

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