Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a área da superfície de uma esfera e a área da superfície de um cubo inscrito nessa esfera. O conteúdo envolve geometria espacial: usamos a fórmula da área da esfera e a do cubo, e precisamos relacionar o raio da esfera ao lado do cubo inscrito.
Passo 2
Num cubo inscrito numa esfera de raio
, todos os vértices do cubo ficam sobre a esfera. A distância do centro do cubo a um vértice é metade da diagonal espacial do cubo, ou seja
onde
é o lado do cubo. Dessa igualdade segue
Passo 3
A área da superfície da esfera de raio
é
Passo 4
A área da superfície do cubo de lado
é
Substituindo
, temos
Passo 5
Agora a razão pedida é