Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a área da superfície de uma esfera e a área da superfície de um cubo inscrito nessa esfera. O conteúdo envolve geometria espacial: usamos a fórmula da área da esfera e a do cubo, e precisamos relacionar o raio da esfera ao lado do cubo inscrito.

Passo 2

Num cubo inscrito numa esfera de raio R, todos os vértices do cubo ficam sobre a esfera. A distância do centro do cubo a um vértice é metade da diagonal espacial do cubo, ou seja
araiz32 = R,
onde a é o lado do cubo. Dessa igualdade segue
a = 2Rraiz3

Passo 3

A área da superfície da esfera de raio R é
Aesfera = 4pi R^2

Passo 4

A área da superfície do cubo de lado a é
Acubo = 6a^2
Substituindo a = tfrac2Rraiz3, temos
Acubo = 6!gl(2Rraiz3gr)^2 = 6 cdot 4R^23 = 8R^2

Passo 5

Agora a razão pedida é
AesferaAcubo = 4pi R^28R^2 = pi2

Resposta

pi2

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