3 Determine os comprimentos de ambos os arcos da circunferência unitária conectando os pontos \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) e \left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right).

Passo 1

O enunciado pede os comprimentos dos dois arcos da circunferência unitária que ligam os pontos \bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr) e \bigl(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\bigr). Em geral, num círculo de raio 1, o comprimento de um arco é o próprio ângulo central (em radianos) que subtende esse arco. Para encontrar esse ângulo, usamos produto escalar entre os vetores que vão da origem até cada ponto.

Passo 2

Sejam \mathbf{u}=(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}) e \mathbf{v}=(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}). O produto escalar vale
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13} + \frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13} = \frac{15+48}{65} = \frac{63}{65}.
Como \|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{v}\|=1, temos
\cos\theta = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \frac{63}{65}.

Passo 3

O ângulo central \theta entre os vetores é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{63}{65}\bigr).

Passo 4

No círculo unitário, o comprimento do arco menor é exatamente \theta. Logo,
L_{\text{menor}} = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{63}{65}\bigr) \approx 0,2527.

Passo 5

O arco maior complementa até 2\pi. Então
L_{\text{maior}} = 2\pi - \theta = 2\pi - \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{63}{65}\bigr) \approx 6,0305.

Resposta

Os comprimentos são
L_{\text{menor}} = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{63}{65}\bigr)\approx 0,2527, \qquad L_{\text{maior}} = 2\pi - \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{63}{65}\bigr)\approx 6,0305.

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