EXEMPLO 2.6.8 Uso de Taxas Relacionadas para Estudar a Oferta
Quando o preço unitário de um produto é
p reais, o fabricante tem interesse em produzir
x mil unidades, em que
x^{2}-2 x \sqrt{p}-p^{2}=31
Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é
\mathrm{R} \ 9,00$ e está aumentando à taxa de 20 centavos por semana?
Solução
Sabemos que para
p=9, d p / d t=0,20. Queremos saber qual é o valor de
d x / d t. Em primeiro lugar, observamos que, para
p=9, temos:
\begin{aligned} x^{2}-2 x \sqrt{9}-9^{2} & =31 \\\ x^{2}-6 x-112 & =0 \\\ (x+8)(x-14) & =0 \\\ x & =14 \quad(x=-8 \text { h não tem significado físico }) \end{aligned}
Em seguida, derivamos implicitamente ambos os membros da equação de oferta em relação ao tempo para obter
2 x \frac{d x}{d t}-2\left[\left(\frac{d x}{d t}\right) \sqrt{p}+x\left(\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{p}} \frac{d p}{d t}\right)\right]-2 p \frac{d p}{d t}=0
Finalmente, fazendo
x=14, p=9 e
d p / d t=0,20 na equação e explicitando
d x / d t, obtemos:
\begin{aligned} & 2(14) \frac{d x}{d t}-2\left[\sqrt{9} \frac{d x}{d t}+14\left(\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{9}}\right)(0,20)\right]-2(9)(0,20)=0 \\\ & {[28-2(3)] \frac{d x}{d t}} \end{aligned}=2(14)\left(\frac{1}{2 \sqrt{9}}\right)(0,20)+2(9)(0,20) \quad \begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =\frac{14\left(\frac{1}{3}\right)(0,20)+18(0,20)}{22} \\\ & \approx 0,206 \end{aligned}
Como a oferta é dada em milhares de unidades, chegamos à conclusão de que a oferta está aumentando à taxa de
0,206(1.000)=206 unidades por semana.