Determine dy/dx por derivação implícita.
y^{2}+3 x y-4 x^{2}=9

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{2} + 3xy - 4x^{2} = 9
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. Para isso, vamos aplicar derivação implícita, usando a regra da cadeia em y^{2} e a regra do produto em 3xy.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x:
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\,y',
\frac{d}{dx}(3xy) = 3\bigl(x\,y' + y\bigr),
\frac{d}{dx}(-4x^{2}) = -8x,
\frac{d}{dx}(9) = 0.

Passo 3

Somando todas as derivadas e igualando a zero, obtemos
2y\,y' + 3\bigl(x\,y' + y\bigr) - 8x = 0.

Passo 4

Expandindo e agrupando os termos que envolvem y':
2y\,y' + 3x\,y' + 3y - 8x = 0
(2y + 3x)\,y' + 3y - 8x = 0.

Passo 5

Isolamos y' movendo 3y-8x para o outro lado:
(2y + 3x)\,y' = 8x - 3y
y' = \frac{8x - 3y}{2y + 3x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{8x - 3y}{2y + 3x}.

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