Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
x y+2 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,y + 2\,y = x^{2}
e pede y'=\frac{dy}{dx} de duas formas:
– (a) por derivação implícita;
– (b) isolando y explicitamente e usando a regra do quociente.
O conteúdo necessário é a aplicação da regra do produto e da regra do quociente em derivadas.

Passo 2

Aplicando derivação implícita a
x\,y + 2\,y = x^{2},
tratamos y como função de x. Pela regra do produto e soma, temos
\frac{d}{dx}(x\,y) + \frac{d}{dx}(2\,y) = \frac{d}{dx}(x^{2}).
Isso dá
\bigl(1\cdot y + x\cdot y'\bigr) + \bigl(2\cdot y'\bigr) = 2x.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' e isolando y', fica
y + x\,y' + 2\,y' = 2x \quad\Longrightarrow\quad (x+2)\,y' = 2x - y \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{2x - y}{x+2}.
Esta é a expressão de y' obtida por via implícita.

Passo 4

Agora, isolamos y explicitamente na equação inicial:
(x+2)\,y = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x^{2}}{\,x+2\,}.
Usamos a regra do quociente para derivar
y = \frac{u}{v},\quad u=x^{2},\;v=x+2
y' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}} = \frac{(2x)(x+2) - x^{2}\cdot 1}{(x+2)^{2}} = \frac{2x^{2}+4x - x^{2}}{(x+2)^{2}} = \frac{x^{2}+4x}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Retornamos à expressão implícita de y' e substituímos y=\frac{x^{2}}{x+2}:
y' = \frac{2x - \frac{x^{2}}{x+2}}{x+2} = \frac{\frac{2x(x+2)-x^{2}}{x+2}}{x+2} = \frac{x^{2}+4x}{(x+2)^{2}}.
Vemos que coincide exatamente com o resultado pelo quociente.

Resposta

y' = \frac{x^{2}+4x}{(x+2)^{2}}.

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