Determine dy/dx por derivação implícita.
\left(3 x y^{2}+1\right)^{4}=2 x-3 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos \frac{dy}{dx} a partir da equação implícita
\bigl(3x\,y^{2}+1\bigr)^{4}=2x-3y.
Aqui vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia para o lado esquerdo e a derivada direta para o lado direito, além da regra do produto ao diferenciar 3x\,y^2.

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo pela regra da cadeia, se u=3x\,y^2+1 então
\frac{d}{dx}\bigl(u^{4}\bigr)=4u^{3}\,\frac{du}{dx}.
Agora calculamos
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(3x\,y^{2}+1\bigr) =3\,y^{2}+3x\cdot2y\,\frac{dy}{dx} =3y^{2}+6x\,y\,y'.

Passo 3

Diferenciando o lado direito 2x-3y obtemos
\frac{d}{dx}(2x-3y)=2-3\,\frac{dy}{dx} =2-3y'.

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
4\bigl(3x\,y^{2}+1\bigr)^{3}\bigl(3y^{2}+6x\,y\,y'\bigr) =2-3y'.
Distribuindo e recolhendo os termos com y':
12y^{2}(3x\,y^{2}+1)^{3}+24x\,y\,(3x\,y^{2}+1)^{3}y' =2-3y',
24x\,y\,(3x\,y^{2}+1)^{3}y'+3y' =2-12y^{2}(3x\,y^{2}+1)^{3},
y'\bigl(24x\,y\,(3x\,y^{2}+1)^{3}+3\bigr) =2-12y^{2}(3x\,y^{2}+1)^{3}.
Isolando y':
y' =\frac{2-12y^{2}(3x\,y^{2}+1)^{3}}{24x\,y\,(3x\,y^{2}+1)^{3}+3}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{2-12y^{2}\bigl(3x\,y^{2}+1\bigr)^{3}}{24x\,y\bigl(3x\,y^{2}+1\bigr)^{3}+3}.

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