Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3 x^{5}}+2 \sqrt{x}-\frac{3}{x}+\frac{1-2 x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3\,x^{5}}+2\sqrt{x}-\frac{3}{x}+\frac{1-2x}{x^{3}}.
O conteúdo envolvido é regra da soma, regra do potência e derivada de x^n. Vamos primeiro reescrever cada termo como potência de x para aplicar a regra \frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}.

Passo 2

Reescrevendo em potências, temos
x^{3}-\frac{1}{3}x^{-5}+2x^{\tfrac12}-3x^{-1}+\bigl(1-2x\bigr)x^{-3}.
Distribuindo no último termo:
(1-2x)x^{-3}=x^{-3}-2x^{-2}.
Logo
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3}x^{-5}+2x^{\tfrac12}-3x^{-1}+x^{-3}-2x^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}:
  • \frac{d}{dx}x^3 = 3x^2.
  • \frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac13x^{-5}\bigr) = -\tfrac13\cdot(-5)x^{-6} = \tfrac{5}{3}x^{-6}.
  • \frac{d}{dx}(2x^{\tfrac12}) = 2\cdot\tfrac12\,x^{-\tfrac12} = x^{-\tfrac12}.
  • \frac{d}{dx}(-3x^{-1}) = -3\cdot(-1)x^{-2} = 3x^{-2}.
  • \frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-4}.
  • \frac{d}{dx}(-2x^{-2}) = -2\cdot(-2)x^{-3} = 4x^{-3}.

Passo 4

Somando tudo, obtemos
f'(x) =3x^2+\frac{5}{3}x^{-6}+x^{-\tfrac12}+3x^{-2}-3x^{-4}+4x^{-3}.
Para ficar mais claro, podemos voltar a forma de frações:
f'(x) =3x^2+\frac{5}{3x^6}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x^2}-\frac{3}{x^4}+\frac{4}{x^3}.

Resposta

f'(x)=3x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{5}{3x^6}+\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}-\frac{3}{x^4}.

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