Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
y=\frac{2-x^{2}}{3 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{2 - x^2}{3x^2 + 1}
O conteúdo aqui é diferenciação de uma função dada como quociente de duas funções e vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Vamos identificar as funções do numerador e do denominador:
u(x) = 2 - x^2, \quad v(x) = 3x^2 + 1.
A regra do quociente diz que
y' = \biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'\,v \;-\; u\,v'}{v^2}.

Passo 3

Precisamos das derivadas de u e v:
u'(x) = \frac{d}{dx}(2 - x^2) = -2x, \qquad v'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente, obtemos
y' = \frac{(-2x)\,(3x^2+1) \;-\; (2 - x^2)\,(6x)}{(3x^2+1)^2}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(-2x)(3x^2+1) = -6x^3 - 2x, \quad (2 - x^2)(6x) = 12x - 6x^3.
Assim,
(-6x^3 - 2x) \;-\; (12x - 6x^3) = -6x^3 - 2x - 12x + 6x^3 = -14x.

Passo 6

Substituindo a forma simplificada, a derivada fica
y' = \frac{-14x}{(3x^2 + 1)^2}.

Resposta

y' = \frac{-14x}{(3x^2 + 1)^2}.

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