Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é a derivação de funções compostas, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função como
f(x) = (x^{2}+1)^{\tfrac12}.
Aqui temos a composição f(x)=g(u(x)), com
u(x)=x^{2}+1, \qquad g(u)=u^{\tfrac12}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
u'(x)=2x, \qquad g'(u)=\tfrac12\,u^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Logo
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

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