Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
y=\left(\frac{x+1}{1-x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \left(\frac{x+1}{1-x}\right)^{2}.
O conteúdo necessário envolve a regra do quociente para derivar u(x)=(x+1)/(1-x) e a regra da cadeia para elevar ao quadrado.

Passo 2

Definimos
u(x) = \frac{x+1}{1-x},
de modo que
y = [u(x)]^{2}.
Pela regra da cadeia temos
y' = 2\,u(x)\,\cdot u'(x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente em
u(x) = \frac{x+1}{1-x}.
Calculamos
u'(x) = \frac{(1-x)\cdot 1 - (x+1)\cdot(-1)}{(1-x)^{2}} = \frac{1 - x + x + 1}{(1-x)^{2}} = \frac{2}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Substituímos u(x) e u'(x) em
y' = 2\,u(x)\,u'(x):
y' = 2 \cdot \frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{2}{(1-x)^{2}} = \frac{4\,(x+1)}{(1-x)^{3}}.

Resposta

y' = \frac{4\,(x+1)}{(1-x)^{3}}.

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