Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
y=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\frac{5}{\sqrt{3 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(x + \tfrac1{x}\bigr)^{2} \;-\;\frac{5}{\sqrt{3x}}
Usaremos a regra da cadeia e a regra do poder para derivar cada parcela.

Passo 2

Definimos
y_{1} = \bigl(x + x^{-1}\bigr)^{2}.
Pela regra da cadeia e do poder,
y_{1}' = 2\bigl(x + x^{-1}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x + x^{-1}\bigr) =2\bigl(x + x^{-1}\bigr)\bigl(1 - x^{-2}\bigr).

Passo 3

Agora simplificamos y_{1}'. Note que
x + x^{-1} = \frac{x^{2}+1}{x}, \quad 1 - x^{-2} = \frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
Logo,
y_{1}' =2\;\frac{x^{2}+1}{x}\;\frac{x^{2}-1}{x^{2}} =2\;\frac{x^{4}-1}{x^{3}}.

Passo 4

Definimos
y_{2} = -\frac{5}{\sqrt{3x}} =-5\,(3x)^{-\tfrac12}.
Derivando,
y_{2}' =-5\cdot\!(-\tfrac12)\,(3x)^{-\tfrac32}\cdot3 =\frac{15}{2}\,(3x)^{-\tfrac32} =\frac{15}{2}\;3^{-\tfrac32}x^{-\tfrac32} =\frac{5}{2\sqrt{3}}\;x^{-\tfrac32}.

Passo 5

Somando as derivadas:
y' = y_{1}' + y_{2}' =2\;\frac{x^{4}-1}{x^{3}} +\frac{5}{2\sqrt{3}}\;x^{-\tfrac32}.

Resposta

y' = \frac{2\,(x^{4}-1)}{x^{3}} +\frac{5}{2\sqrt{3}}\;x^{-\tfrac32}.

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