Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=x^2-y^2, P0=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal à curva de nível de f(x,y)=x^2 - y^2 que passa por P0=(1,1). O conteúdo aqui é geometria de curvas de nível em R^2: a direção normal é dada pelo gradiente de f e a direção tangente é ortogonal a esse gradiente. Vamos precisar calcular nabla f e, a partir dele, obter as equações das retas.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = (2x,,-2y)

Passo 3

Avaliando em P0=(1,1) temos
nabla f(1,1) = (2cdot1,,-2cdot1) = (2,-2)
Esse vetor é normal à curva de nível em P0.

Passo 4

Para achar a direção tangente, escolhemos um vetor v=(v1,v2) ortogonal a nabla f(1,1). A condição nabla f(1,1)cdot v=0
2,v1 +(-2),v2 = 0 Longrightarrow v1 = v2
Uma escolha simples é vt=(1,1). Essa é a direção tangente.

Passo 5

Agora escrevemos as equações das retas que passam por [P_0=(1,1)):
– Reta tangente com direção :
ou em forma explícita
– Reta normal com direção , então

Resposta

Reta tangente: y = x
Reta normal: y = -x + 2

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