Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede as retas tangente e normal à curva de nível de
que passa por
. O conteúdo aqui é geometria de curvas de nível em
: a direção normal é dada pelo gradiente de
e a direção tangente é ortogonal a esse gradiente. Vamos precisar calcular
e, a partir dele, obter as equações das retas.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Passo 3
Avaliando em
temos
Esse vetor é normal à curva de nível em
.
Passo 4
Para achar a direção tangente, escolhemos um vetor
ortogonal a
. A condição
dá
Uma escolha simples é
. Essa é a direção tangente.
Passo 5
Agora escrevemos as equações das retas que passam por [P_0=(1,1)):
– Reta tangente com direção
:
ou em forma explícita
– Reta normal com direção , então
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: