Determine a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado.
z=e^-x^2-y^2, P=(1,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
z = e^-x^2 - y^2
no ponto P = (1,-2). Vamos usar derivadas parciais para obter o plano tangente e o gradiente para o vetor normal.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^-x^2 - y^2:
fx(x,y) = partialpartial xe^-x^2 - y^2 = -2x,e^-x^2 - y^2,
fy(x,y) = partialpartial ye^-x^2 - y^2 = -2y,e^-x^2 - y^2

Passo 3

Avaliaremos em (x0,y0)=(1,-2). O ponto na superfície é
z0 = f(1,-2) = e^-1^2 -(-2)^2 = e^-5
As derivadas valem
fx(1,-2) = -2cdot1,e^-5 = -2e^-5, fy(1,-2) = -2cdot(-2),e^-5 = 4e^-5

Passo 4

A equação do plano tangente em forma ponto-inclinação é
z - z0 = fx(1,-2)l(x-1r) + fy(1,-2)l(y+2r)
Substituindo,
z - e^-5 = -2e^-5(x-1) ;+; 4e^-5(y+2)

Passo 5

O vetor normal à superfície é dado por
nablal(z - f(x,y)r) = l(-fx,,-fy,,1r),
avaliado em (1,-2)
n = l(2e^-5,,-4e^-5,,1r)
A reta normal passa por l(1,-2,e^-5r) com direção n, logo em forma paramétrica:
x(t) = 1 + 2e^-5,t, y(t) = -2 - 4e^-5,t, z(t) = e^-5 + t

Resposta

Plano tangente:
z - e^-5 = -2e^-5(x-1) + 4e^-5(y+2)
Reta normal (paramétrica):
x = 1 + 2e^-5,t, y = -2 - 4e^-5,t, z = e^-5 + t

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