Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=x e^x y, P0=(2,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e a reta normal à curva de nível de f que passa por P0=(2,0), onde
f(x,y)=x,e^xy
A curva de nível em P0 satisfaz
f(x,y)=f(2,0)=2,e^2cdot0=2
Para achar as direções normal e tangente, vamos usar o gradiente de f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = e^xy + x,y,e^xy = e^xyl(1+xyr),
partial fpartial y = x^2,e^xy

Passo 3

Avalia-mos o gradiente em P0=(2,0). Como e^2cdot0=1, temos
partial fpartial x(2,0)=1+2cdot0=1, partial fpartial y(2,0)=2^2cdot1=4
Logo
nabla f(2,0) = (1,4)
Esse vetor é normal `a curva de n’ivel em P0.

Passo 4

A reta normal passa por P0 com vetor diretor nabla f(2,0)=(1,4). Em forma paramétrica:
x=2+t, y=0+4t
Na forma cartesiana:
y-0=4,(x-2) Longrightarrow y=4x-8

Passo 5

A reta tangente é ortogonal ao vetor normal, logo tem vetor diretor, por exemplo, (4,-1). Em forma paramétrica:
x=2+4s, y=0-s
Na forma cartesiana usamos o coeficiente angular
m=-14, obtendo
y-0=-14(x-2) Longrightarrow y=-x4+12

Resposta

Reta normal: ;y=4x-8
Reta tangente: ;y=-tfracx4+tfrac12

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