Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente e a reta normal à curva de nível de
que passa por
, onde
A curva de nível em
satisfaz
Para achar as direções normal e tangente, vamos usar o gradiente de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avalia-mos o gradiente em
. Como
, temos
Logo
Esse vetor é normal `a curva de n’ivel em
.
Passo 4
A reta normal passa por
com vetor diretor
. Em forma paramétrica:
Na forma cartesiana:
Passo 5
A reta tangente é ortogonal ao vetor normal, logo tem vetor diretor, por exemplo,
. Em forma paramétrica:
Na forma cartesiana usamos o coeficiente angular
, obtendo
Resposta
Reta normal:
Reta tangente:
Reta tangente: