Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede as direções tangente e normal à curva de nível de
que passa por
, além das equações das retas tangente e normal nesse ponto. Para isso vamos usar que, para uma função de duas variáveis, o vetor gradiente aponta na direção normal à curva de nível, e a direção tangente é ortogonal a esse vetor.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
Para
usamos a regra do quociente ou produto:
Para
tratamos
como constante:
Passo 3
Avaliamos o gradiente em
:
Logo
Passo 4
O vetor normal à curva de nível é
.
A direção tangente deve satisfazer
A direção tangente deve satisfazer
logo um vetor tangente é
.
Passo 5
Com ponto
e vetor direção
, a reta tangente em forma explícita é
Com vetor normal
(equivalente a direção
), a reta normal é
Resposta
reta tangente:
reta normal:
reta normal: