Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=y e^xx, P0=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede as direções tangente e normal à curva de nível de f que passa por P0=(1,1), além das equações das retas tangente e normal nesse ponto. Para isso vamos usar que, para uma função de duas variáveis, o vetor gradiente aponta na direção normal à curva de nível, e a direção tangente é ortogonal a esse vetor.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
f(x,y)=y,e^xx=y,e^xx^-1
Para partial f/partial x usamos a regra do quociente ou produto:
partial fpartial x = yddxl(e^xx^-1r) = yl(e^xx^-1-e^xx^-2r) = y,e^xx-1x^2
Para partial f/partial y tratamos x como constante:
partial fpartial y = e^xx

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P0=(1,1):
partial fpartial x(1,1) =1cdot e^11-11^2=0, partial fpartial y(1,1) =e^11=e
Logo
nabla f(1,1) = (0,e)

Passo 4

O vetor normal à curva de nível é nabla f(1,1)=(0,e).
A direção tangente deve satisfazer
(0,e)cdot(vx,vy)=0 ;Longrightarrow; e,vy=0 ;Longrightarrow; vy=0,
logo um vetor tangente é (1,0).

Passo 5

Com ponto P0=(1,1) e vetor direção (1,0), a reta tangente em forma explícita é
y=1
Com vetor normal (0,e) (equivalente a direção (0,1)), a reta normal é
x=1

Resposta

reta tangente: y=1
reta normal: x=1

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