Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=x sen y, P0=(pi,-pi).

Passo 1

O enunciado pede as direções tangente e normal à curva de nível de f(x,y)=xsin y no ponto P0=(pi,-pi) e as equações das retas correspondentes. Vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente, que dá a direção normal, e então achar a direção tangente como ortogonal ao gradiente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=xsin y, temos
partial fpartial x(x,y)=sin y,
partial fpartial y(x,y)=xcos y

Passo 3

Avaliar o gradiente em P0=(pi,-pi). Sabendo que sin(-pi)=0 e cos(-pi)=-1, resulta
nabla f(pi,-pi)=l(sin(-pi),,picos(-pi)r)=(0,,-pi)

Passo 4

A direção normal à curva de nível em P0 é dada pelo vetor gradiente
nabla f(pi,-pi)=(0,-pi),
que aponta na vertical.

Passo 5

A direção tangente à curva de nível é qualquer vetor ortogonal ao gradiente. Um vetor ortogonal a (0,-pi) é, por exemplo,
(1,0),
que aponta na horizontal.

Passo 6

Escrever as equações das retas que passam por P0=(pi,-pi) com essas direções.
A reta normal é vertical em x=pi, logo
x=pi
A reta tangente é horizontal em y=-pi, logo
y=-pi

Resposta

Reta tangente: y=-pi.
Reta normal: x=pi.

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