Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede as direções tangente e normal à curva de nível de
no ponto
e as equações das retas correspondentes. Vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente, que dá a direção normal, e então achar a direção tangente como ortogonal ao gradiente.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Como
, temos
Passo 3
Avaliar o gradiente em
. Sabendo que
e
, resulta
Passo 4
A direção normal à curva de nível em
é dada pelo vetor gradiente
que aponta na vertical.
Passo 5
A direção tangente à curva de nível é qualquer vetor ortogonal ao gradiente. Um vetor ortogonal a
é, por exemplo,
que aponta na horizontal.
Passo 6
Escrever as equações das retas que passam por
com essas direções.
A reta normal é vertical em , logo
A reta normal é vertical em
A reta tangente é horizontal em
, logo
Resposta
Reta tangente:
.
Reta normal: .
Reta normal: