Determine a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede a equação do plano tangente e da reta normal no ponto
. Para isso, vamos tratar a superfície como gráfico de
, calcular as derivadas parciais
e
, usar a fórmula do plano tangente e extrair um vetor normal para a reta.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Avaliamo-las em
:
O ponto na superfície é
.
Passo 3
A fórmula do plano tangente ao gráfico de
em
é
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
ou simplesmente
Passo 4
Um vetor normal ao plano é dado por
. Aqui isso vale
Então a reta normal, passando por
e com direção
, tem forma paramétrica
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):