Determine a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado.
z=x cos y, P=(1, pi / 2).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z = xcos y e pede a equação do plano tangente e da reta normal no ponto P=(1,pi/2). Para isso, vamos tratar a superfície como gráfico de f(x,y)=xcos y, calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y, usar a fórmula do plano tangente e extrair um vetor normal para a reta.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=xcos y:
fx(x,y)=cos y,
fy(x,y)=-xsin y
Avaliamo-las em l(x0,y0r)=(1,pi/2):
fx(1,tfracpi2)=cosl(tfracpi2r)=0,
fy(1,tfracpi2)=-(1),sinl(tfracpi2r)=-1
O ponto na superfície é l(1,tfracpi2,,f(1,tfracpi2)r)=(1,tfracpi2,0).

Passo 3

A fórmula do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) em l(x0,y0,z0r) é
z-z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo x0=1, y0=tfracpi2, z0=0, fx=0 e fy=-1, obtemos
z - 0 = 0,(x-1) + (-1),(y - tfracpi2)
ou simplesmente
z = -,y + tfracpi2

Passo 4

Um vetor normal ao plano é dado por l(-fx,-fy,1r). Aqui isso vale
l(-0,,-(-1),,1r) = (0,1,1)
Então a reta normal, passando por l(1,tfracpi2,0r) e com direção (0,1,1), tem forma paramétrica
(x,y,z) = l(1,tfracpi2,0r) + t,(0,1,1)

Resposta

Plano tangente:
z = -,y + tfracpi2
Reta normal (paramétrica):
(x,y,z) = l(1,tfracpi2,0r) + t,(0,1,1)

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