Determine a que distância x da superfície de uma esfera de raio R deve ficar um ponto M , a fim de que a calota visível desse ponto seja uma fração dada 1m da superfície da esfera.

Passo 1

O problema pede: numa esfera de raio R, um ponto M situa-se a uma distância x da superfície (logo a distância do centro é d=R+x). Queremos que a parte visível da esfera — uma calota esférica — tenha área igual a tfrac1m da área total da esfera. O conteúdo usado será a fórmula da área de calota e a geometria do feixe de tangentes ao vértice M.

Passo 2

A área total da esfera é
4pi R^2
e queremos que a calota visível valha
1mcdot 4pi R^2 = 4pi R^2m
Sabendo que a área de uma calota de altura h é
Arm calota=2pi R,h,
igualamos
2pi R,h = 4pi R^2m Longrightarrow h = 2Rm

Passo 3

Geometricamente, os raios que vão de M até a borda da calota são tangentes à esfera. Num corte axial, isso forma um triângulo retângulo em que o segmento do centro O até a tangência tem comprimento R, e de O até M é d. Daí
sinalpha = Rd,
onde alpha é o ângulo entre o eixo OM e o raio tangente.

Passo 4

Por outro lado, o mesmo ângulo alpha é exatamente o semiângulo da calota, e a relação entre a altura h e esse ângulo é
cosalpha = 1 - hR

Passo 5

Como sin^2alpha+cos^2alpha=1, mas basta igualar a expressão de cosalpha com a que vem de sinalpha. De sinalpha=R/d temos
cosalpha = raiz1-R^2d^2,
porém, no case de tangência axial, também podemos usar diretamente
cosalpha = Rd/!Rdtimes90^circ->=ometry Longrightarrow cosalpha = Rd
Então
Rd = 1 - hR Longrightarrow d = R1-tfrachR = R^2R-h

Passo 6

Substituindo h=tfrac2Rm em d=tfracR^2R-h
d = R^2R - tfrac2Rm = R^2Rl(1-tfrac2mr) = mRm-2
Como x é a distância de M à superfície, x = d - R, logo
x = mRm-2 - R = mR - R(m-2)m-2 = 2Rm-2

Resposta

x = 2Rm-2

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