Determine a que distância
da superfície de uma esfera de raio
deve ficar um ponto M , a fim de que a calota visível desse ponto seja uma fração dada
da superfície da esfera.
Passo 1
O problema pede: numa esfera de raio
, um ponto
situa-se a uma distância
da superfície (logo a distância do centro é
). Queremos que a parte visível da esfera — uma calota esférica — tenha área igual a
da área total da esfera. O conteúdo usado será a fórmula da área de calota e a geometria do feixe de tangentes ao vértice
.
Passo 2
A área total da esfera é
e queremos que a calota visível valha
Sabendo que a área de uma calota de altura
é
igualamos
Passo 3
Geometricamente, os raios que vão de
até a borda da calota são tangentes à esfera. Num corte axial, isso forma um triângulo retângulo em que o segmento do centro
até a tangência tem comprimento
, e de
até
é
. Daí
onde
é o ângulo entre o eixo
e o raio tangente.
Passo 4
Por outro lado, o mesmo ângulo
é exatamente o semiângulo da calota, e a relação entre a altura
e esse ângulo é
Passo 5
Como
, mas basta igualar a expressão de
com a que vem de
. De
temos
porém, no case de tangência axial, também podemos usar diretamente
Então
Passo 6
Substituindo
em
dá
Como
é a distância de
à superfície,
, logo