Determine dois números positivos x e y cuja soma é 30 e tais que o produto x y^{2} é o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede determinar dois números positivos x e y com soma 30 de modo que o produto x\,y^2 seja máximo. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição linear, que podemos resolver usando substituição e derivação.

Passo 2

Da restrição x+y=30 obtemos x=30-y. Substituindo em x\,y^2, definimos a função de uma variável
f(y) = (30-y)\,y^2 = 30y^2 - y^3.

Passo 3

Calculamos a derivada de f para encontrar pontos críticos. Usando a derivada de um polinômio,
f'(y) = \frac{d}{dy}\bigl(30y^2 - y^3\bigr) = 60y - 3y^2 = 3y(20-y).

Passo 4

Para f'(y)=0 temos
3y(20-y)=0,
portanto y=0 ou y=20. Como precisamos de y>0, tomamos y=20.

Passo 5

Verificamos que em y=20 a derivada segunda
f''(y) = \frac{d}{dy}(60y-3y^2) = 60 - 6y
vale f''(20)=60-120=-60<0, indicando um máximo local.

Passo 6

Como y=20, da restrição x=30-y segue x=10. Esses valores maximizam x\,y^2.

Resposta

x=10, y=20.

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