Determine dois números positivos
e
cuja soma é 30 e tais que o produto
é o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede determinar dois números positivos
e
com soma
de modo que o produto
seja máximo. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição linear, que podemos resolver usando substituição e derivação.
Passo 2
Da restrição
obtemos
. Substituindo em
, definimos a função de uma variável
Passo 3
Calculamos a derivada de
para encontrar pontos críticos. Usando a derivada de um polinômio,
Passo 4
Para
temos
portanto
ou
. Como precisamos de
, tomamos
.
Passo 5
Verificamos que em
a derivada segunda
vale
, indicando um máximo local.
Passo 6
Como
, da restrição
segue
. Esses valores maximizam
.