Determine o domínio e trace o gráfico das funções.
f(x)=2 log (x-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e esboçar o gráfico da função
f(x)=2log(x-1)
O conteúdo envolvido é análise de função logarítmica: para definir o domínio, precisamos resolver uma inequação do argumento do logaritmo; para o gráfico, faremos as transformações a partir de y=log x.

Passo 2

Para encontrar o domínio, resolvemos a condição de existência do logaritmo:
x-1>0
Logo, o domínio é
(1,infty)

Passo 3

Como xto1^+, o argumento x-1to0^+ e portanto
f(x)=2log(x-1)to- infty
Isto mostra que há uma assíntota vertical em
x=1

Passo 4

Para localizar o ponto em que a função cruza o eixo x, impomos f(x)=0:
2log(x-1)=0 Longrightarrow log(x-1)=0 Longrightarrow x-1=1 Longrightarrow x=2
Portanto a interseção com o eixo x é o ponto (2,0). Não há interseção com o eixo y, pois x=0 não está no domínio.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, partimos do gráfico de y=log x (base qualquer maior que 1, pois só muda escala vertical); então:
  1. Transladamos 1 unidade para a direita (substituindo x por x-1).
  2. Esticamos verticalmente por um fator 2 (multiplicamos a saída por 2).
    O resultado é uma curva crescente, côncava para baixo, com assíntota vertical em x=1, passando por (2,0) e crescendo sem limite quando xtoinfty.

Resposta

Domínio: (1,infty).
Gráfico: curva logarítmica deslocada 1 para a direita e esticada verticalmente, com assíntota x=1 e ponto (2,0).

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