Determine a equação da elipse:
com excentricidade e=1 / 2, centro na origem e as extremidades do eixo maior em (0, pm 6),

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com centro na origem, eixo maior vertical com extremidades em (0,pm6) e excentricidade e=tfrac12. O conteúdo que vamos usar é a geometria analítica de elipses: conhecendo a (semi-eixo maior) e e, obtemos c=ae (distância do centro ao foco) e depois b pelo relacionamento c^2=a^2-b^2.

Passo 2

Para uma elipse de centro na origem e eixo maior vertical temos a forma padrão
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
onde a é o semi-eixo maior (vertical) e b o semi-eixo menor (horizontal), com a>b>0. A excentricidade satisfaz
e=ca,
sendo c a distância do centro a cada foco.

Passo 3

As extremidades do eixo maior em (0,pm6) indicam que
a = 6

Passo 4

Como e=tfrac12, calculamos
c = a,e = 6 times tfrac12 = 3,
e portanto
c^2 = 9

Passo 5

Usamos a relação entre os semi-eixos
c^2 = a^2 - b^2
para encontrar b^2:
b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 9 = 27

Passo 6

Substituindo a^2=36 e b^2=27 na equação padrão, obtemos
x^227 + y^236 = 1

Resposta

x^227 + y^236 = 1

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