Determine m para que a equação do 2 grau m x^2-2(m+1) x+m+5=0 tenha raízes reais tais que x1<0<x2<2.

Passo 1

O enunciado dá a equação de segundo grau
m x^2-2(m+1)x + (m+5)=0
e pede valores de m para que as raízes sejam reais e satisfazerem
x1<0<x2<2
Vamos usar: (i) condição de raízes reais De<a>=0; (ii) produto das raízes x1x2<0 para ter sinais opostos; (iii) teste em x=2 para garantir x2<2, levando em conta o sinal de a=m.

Passo 2

Calcular o discriminante:
De<a = [-2(m+1)]^2 - 4cdot mcdot(m+5) =4(m+1)^2 -4m(m+5) =4l((m+1)^2-m(m+5)r) =4(1-3m)
Para ter raízes reais basta
De<a>=0 Longrightarrow 1-3m>=0 Longrightarrow m<=tfrac13

Passo 3

O produto das raízes é
x1x2 = ca = m+5m
Queremos x1x2<0, isto é
m+5m<0 Longrightarrow -5<m<0
Isso já garante uma raiz negativa e outra positiva.

Passo 4

Para garantir que a raiz maior x2 fique abaixo de 2, observamos que para m<0 (concavidade para baixo) vale: se 2 estiver à direita de ambas as raízes, então f(2)<0. Calculamos
f(2)=mcdot2^2-2(m+1)cdot2+(m+5) =4m-4(m+1)+m+5 =m+1
Logo, exigimos
m+1<0 Longrightarrow m< -1

Passo 5

Juntando as condições:
-5 < m < 0 e m< -1
resulta em
-5 < m < -1
Note que m<=tfrac13 já está contido em (-5,-1).

Resposta

boxed-5 < m < -1

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