Determine a função g(x) cujo gráfico é o simétrico do gráfico da função f(x)=2 x-x^2 em relação à reta y=3. Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a função g(x) cujo gráfico é o simétrico do gráfico de f(x)=2x - x^2 em relação à reta horizontal y=3. O conteúdo usado aqui é reflexão de pontos em uma reta horizontal.

Passo 2

Para refletir um ponto (x,y) em relação à reta y=3, mantemos a mesma abscissa x e fazemos com que a soma das ordenadas do ponto original e do ponto refletido seja 2cdot3=6. Logo, se y=f(x), então a ordenada refletida é
yref = 6 - f(x)

Passo 3

Aplicando isso em f(x)=2x - x^2, obtemos
g(x) = 6 - l(2x - x^2r) = 6 - 2x + x^2 = x^2 - 2x + 6

Passo 4

Para esboçar:
  • f(x)= -x^2 + 2x é uma parábola voltada para baixo, vértice em l(1,,1r).
  • g(x)= x^2 - 2x + 6 é uma parábola voltada para cima, vértice em l(1,,5r).
  • A reta y=3 passa exatamente no meio entre os vértices e é eixo de simetria. Cada ponto de f e g obedecem à relação yf + yg = 6.

Resposta

g(x)=x^2 - 2x + 6
Esboço: parabola de concavidade para cima com vértice em (1,5), simétrica à f em torno de y=3.

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