Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=2 x^2+3 y^2, P0=(-1,2).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^2+3y^2 e pede as direções tangente e normal à curva de nível que passa por P0=(-1,2), além de escrever as equações das retas tangente e normal. Vamos usar que a normal à curva de nível é dada pelo gradiente nabla f e que a tangente é ortogonal ao gradiente.

Passo 2

Calculamos o gradiente em geral:
nabla f(x,y) = l(partialx f,partialy fr) = (4x,6y)
Em P0=(-1,2):
nabla f(-1,2) = (4cdot(-1),6cdot2) = (-4,12)
Logo, a direção normal é dada pelo vetor (-4,12).

Passo 3

A direção tangente deve satisfazer nabla f(P0)cdot t=0. Se t=(a,b), então
(-4,12)cdot(a,b) = -4a + 12b = 0 ;Longrightarrow; a=3b
Escolhendo b=1, obtemos t=(3,1). Assim, a reta tangente em P0 pode ser escrita parametricamente como
(x,y) = (-1,2) + t,(3,1)
ou, em forma explícita,
y-2 = tfrac13(x+1)

Passo 4

Para a reta normal, usamos a direção nabla f(P0)=(-4,12), de modo que
(x,y) = (-1,2) + s,(-4,12)
ou em forma explícita
y-2 = -3(x+1)

Resposta

reta tangente: y - 2 = 13(x + 1)
reta normal: y - 2 = -3(x + 1)

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