Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as direções tangente e normal à curva de nível que passa por
, além de escrever as equações das retas tangente e normal. Vamos usar que a normal à curva de nível é dada pelo gradiente
e que a tangente é ortogonal ao gradiente.
Passo 2
Calculamos o gradiente em geral:
Em
:
Logo, a direção normal é dada pelo vetor
.
Passo 3
A direção tangente deve satisfazer
. Se
, então
Escolhendo
, obtemos
. Assim, a reta tangente em
pode ser escrita parametricamente como
ou, em forma explícita,
Passo 4
Para a reta normal, usamos a direção
, de modo que
ou em forma explícita
Resposta
reta tangente:
reta normal:
reta normal: