Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto especificado.
y=\left(x^{2}-x\right)(3+2 x) ;(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva de y=(x^{2}-x)(3+2x) no ponto (-1,2). Para resolver, vamos usar derivadas (regra do produto) e a fórmula da reta no formato ponto-inclinação.

Passo 2

Primeiro, verificamos que o ponto pertence à curva, calculando
f(-1)=((-1)^{2}-(-1))\,(3+2\cdot(-1))=(1+1)\cdot(3-2)=2\cdot1=2,
logo (-1,2) está mesmo na curva.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em
f(x)=u(x)\,v(x),\quad u(x)=x^{2}-x,\quad v(x)=3+2x.
Temos
u'(x)=2x-1,\quad v'(x)=2,
então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=(2x-1)(3+2x)+(x^{2}-x)\cdot2.

Passo 4

Calculamos a inclinação da tangente em x=-1:
u'(-1)=2(-1)-1=-3,\quad v(-1)=3+2(-1)=1,\quad u(-1)=(-1)^{2}-(-1)=2,
f'(-1)=(-3)\cdot1+2\cdot2=-3+4=1.
Portanto a inclinação é m=1.

Passo 5

Usamos a fórmula da reta tangente no formato ponto-inclinação:
y - y_{0}=m\,(x - x_{0}),
substituindo m=1 e (x_{0},y_{0})=(-1,2):
y-2=1\,(x+1)\quad\Longrightarrow\quad y=x+3.

Resposta

y = x + 3

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