Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
x^{2}=y^{3} ;(8,4)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva dada por \,x^{2}=y^{3}\, no ponto (8,4). Esse é um problema de derivada implícita: vamos precisar derivar a relação x^{2}=y^{3} em função de x e depois avaliar a inclinação em (8,4).

Passo 2

Derivando implicitamente ambas as parcelas em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)
2x = 3\,y^{2}\,\frac{dy}{dx}

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx} na expressão acima, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3\,y^{2}}.
Agora avaliamos em (x,y)=(8,4):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(8,4)} = \frac{2\cdot8}{3\cdot4^{2}} = \frac{16}{3\cdot16} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Com a inclinação m=\tfrac{1}{3} e o ponto (8,4), usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - 4 = \frac{1}{3}\,(x - 8).

Resposta

y - 4 = \frac{1}{3}(x - 8)

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