Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
x^{2}+y^{3}=12

Passo 1

O enunciado define a curva
x^{2} + y^{3} = 12
e pede a derivada \frac{dy}{dx} de duas formas:
(a) usando derivação implícita;
(b) isolando y e derivando a função explícita y(x).

Passo 2

Para derivar implicitamente, aplicamos \frac{d}{dx} em ambos os lados de
x^{2} + y^{3} = 12.
Como \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x e \frac{d}{dx}(y^{3}) = 3y^{2}\,\frac{dy}{dx}, obtemos
2x + 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}, vem
3y^{2}\,\frac{dy}{dx} = -\,2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3y^{2}}.

Passo 3

Agora isolamos y em função de x. Da equação x^{2}+y^{3}=12 segue
y^{3} = 12 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = (12 - x^{2})^{\tfrac13}.
Para derivar
\displaystyle y(x) = (12 - x^{2})^{1/3}, usamos a regra da cadeia e a regra da potência:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(12 - x^{2})^{-\tfrac23}\cdot \frac{d}{dx}(12 - x^{2}) = \frac{1}{3}(12 - x^{2})^{-\tfrac23}\cdot(-2x) = -\frac{2x}{3\,(12 - x^{2})^{\tfrac23}}.

Passo 4

Para ver que as duas formas coincidem, note que da definição explícita temos
y = (12 - x^{2})^{\tfrac13} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = (12 - x^{2})^{\tfrac23}.
Substituindo em
\displaystyle -\frac{2x}{3\,(12 - x^{2})^{2/3}}
-\,\frac{2x}{3\,y^{2}},
exatamente o mesmo que obtivemos por derivação implícita.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3y^{2}},
tanto pelo método implícito quanto pelo explícito.

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