Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Passo 1
O enunciado define a curva
e pede a derivada
de duas formas:
(a) usando derivação implícita;
(b) isolando e derivando a função explícita
.
(a) usando derivação implícita;
(b) isolando
Passo 2
Para derivar implicitamente, aplicamos
em ambos os lados de
Como
e
, obtemos
Isolando
, vem
Passo 3
Agora isolamos
em função de
. Da equação
segue
Para derivar
, usamos a regra da cadeia e a regra da potência:
Passo 4
Para ver que as duas formas coincidem, note que da definição explícita temos
Substituindo em
dá
exatamente o mesmo que obtivemos por derivação implícita.
Resposta
tanto pelo método implícito quanto pelo explícito.