Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
x y^{2}-x^{2} y=6 ;(2,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por x y^2 - x^2 y = 6 e pede a reta tangente em (2,-1). Vamos usar diferenciação implícita para obter y' e depois aplicar a forma ponto-inclinação de reta.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
x y^2 - x^2 y = 6
considerando y=y(x).
Para o termo x y^2, regra do produto e cadeia:
\frac{d}{dx}(x y^2) = 1\cdot y^2 + x\cdot 2y\,y' = y^2 + 2xy\,y'.
Para x^2 y, também produto:
\frac{d}{dx}(x^2 y) = 2x\cdot y + x^2\cdot y' = 2xy + x^2y'.
No lado direito, \frac{d}{dx}(6)=0.

Passo 3

Reunindo tudo:
y^2 + 2xy\,y' - (2xy + x^2y') = 0
\Longrightarrow\quad y^2 - 2xy + (2xy - x^2)y' = 0.
Isolando y':
(2xy - x^2)y' = 2xy - y^2 \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{2xy - y^2}{2xy - x^2}.

Passo 4

Avaliamo-s a derivada em (2,-1):
y'(2,-1) = \frac{2 \cdot 2 \cdot (-1) - (-1)^2}{2 \cdot 2 \cdot (-1) - 2^2} = \frac{-4 - 1}{-4 - 4} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação:
y - y_0 = m(x - x_0),
com m=\tfrac{5}{8} e (x_0,y_0)=(2,-1):
y + 1 = \frac{5}{8}(x - 2).
Isolando y:
y = \frac{5}{8}x - \frac{5}{4} - 1 = \frac{5}{8}x - \frac{9}{4}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{5}{8}x - \frac{9}{4}.

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