Determine dy/dx por derivação implícita.
x y-x=y+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \frac{dy}{dx} por derivação implícita da curva dada por
x\,y - x = y + 2.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e a diferenciação de termos em x e em y.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x.
No lado esquerdo, para \,x\,y usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\,y)=y + x\,\frac{dy}{dx},
e \frac{d}{dx}(-x)=-1.
No lado direito, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx} e \frac{d}{dx}(2)=0.
Portanto,
y + x\,\frac{dy}{dx} - 1 \;=\;\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora isolamos \frac{dy}{dx}.
y - 1 + x\,\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad y - 1 + \bigl(x - 1\bigr)\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x - 1\bigr)\frac{dy}{dx} = 1 - y.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y}{x - 1}.

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