Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=raizx+x^-1, x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de y=raizx+x^-1 no ponto cuja abscissa é x=1. Para isso, vamos precisar de dois ingredientes: o coeficiente angular da tangente, que é dado pela derivada y' avaliada em x=1, e o ponto de tangência, cuja ordenada obtém-se calculando y(1).

Passo 2

Calculemos a derivada de y. Usando a regra do poder e a regra da soma, temos
y'=ddxl(raizxr)+ddxl(x^-1r) =12raizx-x^-2

Passo 3

Agora avaliamos y' em x=1 para encontrar o coeficiente angular m:
m=y'(1)=12raiz1-1^-2 =12-1 =-12

Passo 4

Precisamos também do ponto de tangência. Como x=1, calculamos
y(1)=raiz1+1^-1=1+1=2
Logo o ponto é l(1,2r).

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y-2=-tfrac12,(x-1)
Podemos simplificar para a forma y=mx+b:
y-2=-tfrac12x+tfrac12 Longrightarrow y=-tfrac12x+tfrac12+2 =-tfrac12x+tfrac52

Resposta

A reta tangente é
y=-tfrac12x+tfrac52

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