Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=x^3-6 x^2+11 x-6, x=3

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
e pede a reta tangente no ponto de abscissa x=3. Para encontrar essa reta precisamos de dois ingredientes: o coeficiente angular, que é a derivada y' = f'(x) avaliada em x=3, e a ordenada do ponto, dada por y(3).

Passo 2

Calculamos a derivada da função usando as regras de potência:
y' = ddxl(x^3r) - 6,ddxl(x^2r) + 11,ddx(x) - ddx(6) = 3x^2 - 12x + 11

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x=3 para obter o coeficiente angular m:
m = y'(3) = 3cdot 3^2 - 12cdot 3 + 11 = 27 - 36 + 11 = 2

Passo 4

Agora encontramos a ordenada y(3) substituindo x=3 na função original:
y(3) = 3^3 - 6cdot 3^2 + 11cdot 3 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0

Passo 5

Com o ponto (3,0) e o coeficiente angular m=2, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = ml(x - x0r) Longrightarrow y - 0 = 2,(x - 3),
que simplifica para

Resposta

y = 2x - 6

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