Determine
para que a equação (
tenha uma raiz positiva e outra negativa.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede que suas duas raízes sejam uma positiva e outra negativa. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
- As raízes são reais.
- O produto das raízes é negativo (pois uma delas deve ter sinal oposto à outra).
Passo 2
Vamos identificar os coeficientes e calcular o discriminante.
,
,
.
O discriminante é
O discriminante é
Como
para todo
, a equação tem sempre duas raízes reais, desde que
(ou seja,
).
Passo 3
O produto das raízes de uma quadrática é dado por
Queremos
, pois isso assegura que as raízes tenham sinais opostos.
Passo 4
Resolvendo a desigualdade
os sinais em num. e denom. devem ser opostos. Isso ocorre apenas quando
Note que
não vale porque aí
e não temos quadrática, e
não vale porque o produto ficaria zero (uma raiz seria zero, não positiva nem negativa).