Determine m para que a equação ( m-2) x^2-3 m x+(m+2)=0 tenha uma raiz positiva e outra negativa.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
(m-2)x^2 - 3m x + (m+2) = 0
e pede que suas duas raízes sejam uma positiva e outra negativa. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
  1. As raízes são reais.
  2. O produto das raízes é negativo (pois uma delas deve ter sinal oposto à outra).

Passo 2

Vamos identificar os coeficientes e calcular o discriminante.
a = m-2, b = -3m, c = m+2.
O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4(m-2)(m+2) = 9m^2 -4(m^2-4) = 5m^2 + 16
Como 5m^2+16>0 para todo minR, a equação tem sempre duas raízes reais, desde que aneq0 (ou seja, mneq2).

Passo 3

O produto das raízes de uma quadrática é dado por
ca = m+2m-2
Queremos m+2m-2<0, pois isso assegura que as raízes tenham sinais opostos.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade
m+2m-2<0
os sinais em num. e denom. devem ser opostos. Isso ocorre apenas quando
-2 < m < 2
Note que m=2 não vale porque aí a=0 e não temos quadrática, e m=-2 não vale porque o produto ficaria zero (uma raiz seria zero, não positiva nem negativa).

Resposta

-2 < m < 2

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