O trinômio f (x)=x^2-p x+q tem por raízes a e b, a neq 0 e b neq 0. Qual é o trinômio cujas raízes são 1a e 1b ?

Passo 1

O enunciado diz que temos o trinômio
f(x)=x^2-p x+q
cuja raízes são a e b (ambas não nulas). Pergunta-se qual é o trinômio monico cujas raízes são tfrac1a e tfrac1b. Vamos usar as relações entre coeficientes e raízes em polinômios quadráticos.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra para quadráticos monicos, as raízes a e b satisfazem
a + b = p,
a b = q
Logo, as raízes recíprocas 1a e 1b têm soma e produto dados por
1a + 1b = a+bab = pq,
1acdot1b = 1ab = 1q

Passo 3

Um trinômio monico cujas raízes sejam alpha e beta é
x^2 - (alpha+beta),x + alphabeta
Substituindo alpha+beta = tfracpq e alphabeta = tfrac1q, obtemos
x^2 - pq,x + 1q

Passo 4

Se preferirmos um polinômio com coeficientes inteiros (ou polinômios em p,q), podemos multiplicar tudo por q, resultando em
q,x^2 - p,x + 1

Resposta

O trinômio monico cujas raízes são tfrac1a e tfrac1b é
x^2 - pq,x + 1q
Alternativamente, multiplicando por q, obtemos
q,x^2 - p,x + 1

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