Determine, quando existirem, os extremos das funções dadas nos Exercícios 15 a 26 e os pontos onde eles ocorrem.
y=x /\left(1+x^{2}\right),|x| \leq 5.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \frac{x}{1 + x^2}
definida no intervalo fechado \bigl[-5,5\bigr]. O conteúdo é determinação de extremos (máximos e mínimos) de uma função real em intervalo fechado. Para resolver, vamos usar o critério da derivada: encontrar os pontos críticos fazendo y'=0 e depois comparar os valores de y nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de
y = \frac{x}{1+x^2}
usando quociente. Assim,
y' = \frac{(1+x^2)\cdot 1 - x\cdot(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo
y' = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - x^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \pm 1.
Não há problemas de derivada indefinida, pois o denominador nunca zera em \mathbb{R}.

Passo 4

Agora avaliamos y nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
y(-5) = \frac{-5}{1 + 25} = -\frac{5}{26},\quad y(-1) = -\tfrac12,
y(1) = \tfrac12,\quad y(5) = \frac{5}{26}.

Passo 5

Comparando os valores:
-\tfrac12 < -\tfrac{5}{26} < \tfrac{5}{26} < \tfrac12.
Logo o valor mínimo ocorre em x=-1 e vale y=-\tfrac12; o valor máximo ocorre em x=1 e vale y=\tfrac12.

Resposta

Máximo global: y=\tfrac12 em x=1.
Mínimo global: y=-\tfrac12 em x=-1.

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