Determine os pontos críticos das funções dadas nos Exercícios 1 a 14.
y=x-\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
y = x - \sqrt{x}
O conteúdo principal aqui é derivação e definição de ponto crítico: são pontos no domínio onde y'=0 ou onde y' não existe.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de
\,y=x-\sqrt{x}: como há \sqrt{x}, é necessário que x\ge0.
Agora calculamos a derivada y' para x>0. Usando a regra de derivada de potência, temos
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) = 1 - \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Para achar os pontos onde y'=0, resolvemos
1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac14.

Passo 4

Além disso, pontos críticos também podem ocorrer onde y' não existe. Observamos que em x=0 a expressão de y' tem divisão por zero, logo y' não existe em x=0, e x=0 pertence ao domínio.

Resposta

Os pontos críticos são
x=0 \quad\text{e}\quad x=\frac14,
isto é, os pontos
(0,\,0)\quad\text{e}\quad\Bigl(\tfrac14,\,-\tfrac14\Bigr).

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