Determine os pontos críticos das funções dadas nos Exercícios 1 a 14.
y=x-1 / \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}.
Aqui o conteúdo-chave é derivação de funções e definição de ponto crítico: são os x no domínio onde y'=0 ou onde y' não exista.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de y. Como aparece \sqrt{x} no denominador, precisamos de
x>0
Logo o domínio é (0,\infty). Qualquer ponto crítico deve pertencer a esse intervalo.

Passo 3

Agora calculamos a derivada y'. Escrevendo y = x - x^{-1/2}, temos
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(x\Bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1/2}\Bigr)
\frac{d}{dx}(x)=1 \quad,\quad \frac{d}{dx}(x^{-1/2})=-\tfrac12\,x^{-3/2}
Portanto
y' = 1 - \bigl(-\tfrac12\,x^{-3/2}\bigr) = 1 + \frac{1}{2\,x^{3/2}}

Passo 4

Procuramos soluções de
y'=0 \;\Longrightarrow\; 1 + \frac{1}{2\,x^{3/2}} = 0.
Rearranjando,
\frac{1}{2\,x^{3/2}} = -1,
mas o lado esquerdo é sempre positivo para x>0, e o lado direito é negativo. Logo não há solução em (0,\infty).

Passo 5

Verificamos onde y' pode deixar de existir. A expressão
y' = 1 + \frac{1}{2\,x^{3/2}}
só falha em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio. Em todo (0,\infty) ela está bem definida.

Resposta

Não existem pontos críticos para a função y = x - \frac{1}{\sqrt{x}} em seu domínio (0,\infty).

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