Determine a fórmula explicita de a_{n} em função de n, a_{1} e a_{2} da sequência definida por: a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_{n} para n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula explícita de \,a_n em função de n, a_1 e a_2 para a sequência que satisfaz a recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n+2}=5\,a_{n+1}-6\,a_{n},\quad n\ge1.
Vamos usar o método da equação característica para resolver esse tipo de recorrência.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à recorrência, trocando a_{n+k} por r^k:
r^2 - 5r + 6 = 0.
Resolvendo-a, temos
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0
de onde vêm as raízes
r_1=2,\quad r_2=3.

Passo 3

Como a recorrência é linear e homogênea com raízes distintas, a solução geral é
a_n = A\cdot 2^{\,n-1} + B\cdot 3^{\,n-1},
onde A e B são constantes a determinar pelos valores iniciais a_1 e a_2.

Passo 4

Impondo n=1 e n=2 na solução geral, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = a_1,\\\\ 2A + 3B = a_2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema acima:
Da primeira equação B = a_1 - A. Substituindo na segunda:
2A + 3(a_1 - A)=a_2 \;\Longrightarrow\;2A +3a_1 -3A = a_2 \;\Longrightarrow\;-A = a_2 -3a_1 \;\Longrightarrow\;A = 3a_1 - a_2.
Então
B = a_1 - (3a_1 - a_2) = a_2 - 2a_1.

Resposta

a_n = (3a_1 - a_2)\,2^{\,n-1} \;+\;(a_2 - 2a_1)\,3^{\,n-1}.

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