Determine a fórmula explicita de
em função de
,
e
da sequência definida por:
para
.
Passo 1
O enunciado pede a fórmula explícita de
em função de
,
e
para a sequência que satisfaz a recorrência linear homogênea de segunda ordem
Vamos usar o método da equação característica para resolver esse tipo de recorrência.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à recorrência, trocando
por
:
Resolvendo-a, temos
de onde vêm as raízes
Passo 3
Como a recorrência é linear e homogênea com raízes distintas, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelos valores iniciais
e
.
Passo 4
Impondo
e
na solução geral, obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo o sistema acima:
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Então