Determine, em R, o conjunto solução das inequações:
t+1t <=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
t + 1t <= -2
O conteúdo aqui é inequação envolvendo expressão racional. Precisamos notar que tneq0 e, para eliminar o denominador, multiplicar por t, lembrando que o sentido da desigualdade muda se t<0.

Passo 2

Determinamos o domínio e separamos em dois casos conforme o sinal de t:
  • Caso 1: t>0.
  • Caso 2: t<0.
Em cada caso, multiplicamos ambos os lados de
t + 1t <= -2
por t, cuidando do sentido da desigualdade.

Passo 3

Caso t>0: ao multiplicar por t>0, a desigualdade mantém o sentido,
t^2 + 1 <= -2t ;;Long<=ftrightarrow;; t^2 + 2t + 1 <= 0 ;;Long<=ftrightarrow;; (t+1)^2 <= 0
Mas (t+1)^2 só pode ser zero quando t=-1, o que não pertence a t>0. Portanto não há solução para t>0.

Passo 4

Caso t<0: multiplicando por t<0, o sentido da desigualdade se inverte,
t^2 + 1 >= -2t ;;Long<=ftrightarrow;; t^2 + 2t + 1 >= 0 ;;Long<=ftrightarrow;; (t+1)^2 >= 0
Essa última é verdadeira para todo tinR. Como estamos em t<0, concluímos que toda t<0 satisfaz a inequação.

Passo 5

Não há solução em t>0 nem em t=0, e todo t<0 funciona.

Resposta

(-infty,0)

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