Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=ell n sen x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=lnl(sin xr)
e pede sua derivada. O conteúdo envolvido é a derivada do logaritmo natural combinada com a regra da cadeia. Para isso, precisamos que sin x>0.

Passo 2

Usamos a regra: se g(x)=ln(u(x)), então
g'(x)=u'(x)u(x)
Aqui identificamos u(x)=sin x.

Passo 3

Calculamos a derivada de u:
u'(x)=ddx[sin x]=cos x
Substituindo em g'(x), obtemos
f'(x)=cos xsin x

Passo 4

Simplificando a fração, reconhecemos que
cos xsin x=cot x
Logo a expressão final da derivada é cot x.

Passo 5

Observação sobre domínio: a expressão cot x está definida sempre que sin xneq0, ou seja,
xneq kpi, kinZ

Resposta

f'(x)=cot x

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