Determine o que se infere sobre as constantes A, B e C na equação A x+B y+C=0 a partir das seguintes sentenças:
A reta é perpendicular a x+10 y=3.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir condições sobre as constantes A, B e C da reta
A x + B y + C = 0
sabendo que ela é perpendicular à reta
x + 10y = 3
O conteúdo aqui é geometria analítica de retas no plano e, em particular, a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos obter o coeficiente angular (inclinação) da reta dada. A equação
x + 10y = 3
pode ser escrita em forma reduzida y = m2 x + b. Isolando y:
10y = -x + 3 Longrightarrow y = -110,x + 310
Logo, o coeficiente angular dessa reta é
m2 = -110

Passo 3

Agora, a reta genérica
A x + B y + C = 0
também pode ser escrita como
y = m1 x + b',
onde
m1 = -AB
é o coeficiente angular dessa reta.

Passo 4

Para que duas retas sejam perpendiculares, seus coeficientes angulares satisfazem
m1 cdot m2 = -1
Substituindo m1 = -tfracAB e m2 = -tfrac110, temos
l(-ABr)cdotl(-110r) = -1 Longrightarrow A10B = -1 Longrightarrow A = -10,B

Passo 5

A constante C apenas desloca a reta paralelamente e não afeta a inclinação. Portanto, não há nenhuma restrição sobre C; ela pode ser qualquer número real.

Resposta

A relação entre A e B é
A + 10B = 0,
e C é livre (qualquer número real).

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