Se a e b são números reais com a<b, mostre que existe pelo menos um número irracional c tal que a<c<b e, portanto, existe uma infinidade deles. Em particular, entre dois racionais existe um número infinito de irracionais.

Seção 1.3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois reais a<b, existe pelo menos um número irracional c tal que
a<c<b
e, em consequência, há uma infinidade deles. Para isso vamos usar dois fatos clássicos:
1. raiz2 é irracional.
2. Os racionais são densos em R, ou seja, entre quaisquer u<v existe um racional r com u<r<v.

Passo 2

Observe que
a-raiz2<b-raiz2,
pois subtrair raiz2 preserva a desigualdade. Pela densidade dos racionais, existe um rinQ tal que
a-raiz2<r<b-raiz2

Passo 3

Defina
c = r + raiz2
Vamos verificar que c é irracional e que a<c<b.

Passo 4

(i) Soma de um racional com um irracional é irracional, logo c=r+raiz2 é irracional.
(ii) Somando raiz2 às desigualdades de

Passo 5

a < r+raiz2 < b,
ou seja,
a<c<b
Isso prova a existência de ao menos um irracional c em (a,b).

Passo 6

O intervalo (a-raiz2,,b-raiz2) contém infinitos racionais r. A cada escolha de r distinta corresponde um c=r+raiz2 diferente, todos irracionais e satisfazendo a<c<b. Logo, há uma infinidade de tais c.

Resposta

Para qualquer racional r em (a-raiz2,,b-raiz2), o número
c = r + raiz2
é irracional e fica em (a,b). Como existem infinitos racionais nesse intervalo, existem infinitos irracionais entre a e b.

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