Se
e
são números reais com
, mostre que existe pelo menos um número irracional
tal que
e, portanto, existe uma infinidade deles. Em particular, entre dois racionais existe um número infinito de irracionais.
Seção 1.3
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois reais
, existe pelo menos um número irracional
tal que
e, em consequência, há uma infinidade deles. Para isso vamos usar dois fatos clássicos:
.
é irracional.
2. Os racionais são densos em , ou seja, entre quaisquer
existe um racional
com
.
2. Os racionais são densos em
Passo 2
Observe que
pois subtrair
preserva a desigualdade. Pela densidade dos racionais, existe um
tal que
Passo 3
Defina
Vamos verificar que
é irracional e que
.
Passo 4
(i) Soma de um racional com um irracional é irracional, logo
é irracional.
(ii) Somando às desigualdades de
(ii) Somando
Passo 5
ou seja,
Isso prova a existência de ao menos um irracional
em
.
Passo 6
O intervalo
contém infinitos racionais
. A cada escolha de
distinta corresponde um
diferente, todos irracionais e satisfazendo
. Logo, há uma infinidade de tais
.
Resposta
Para qualquer racional
em
, o número
é irracional e fica em
. Como existem infinitos racionais nesse intervalo, existem infinitos irracionais entre
e
.