Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
f(x)=x^{5}-5 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{5}-5x
e pede:
– os intervalos de crescimento/decrescimento (usando f'),
– os intervalos de concavidade para cima/para baixo (usando f''),
– extremos relativos,
– pontos de inflexão,
– e um esboço da curva.
Para isso, vamos calcular f'(x) e f''(x), achar suas raízes e estudar o sinal em cada região.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada e os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^5-5x\bigr)=5x^4-5=5\bigl(x^4-1\bigr).
Igualando a zero:
5\bigl(x^4-1\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^4=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.

Passo 3

Estude o sinal de f'(x)=5(x^4-1):
– Se \lvert x\rvert>1, então x^4>1 e f'(x)>0, ou seja, f é crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
– Se \lvert x\rvert<1, então x^4<1 e f'(x)<0, ou seja, f é decrescente em (-1,1).
Como f' passa de positivo para negativo em x=-1, há um máximo relativo em x=-1; e como passa de negativo para positivo em x=1, há um mínimo relativo em x=1.

Passo 4

Calculemos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^4-5\bigr)=20x^3.
f''(x)>0 se x>0, logo concavidade para cima em (0,\infty).
f''(x)<0 se x<0, logo concavidade para baixo em (-\infty,0).
O único ponto onde f''(x)=0 é x=0, que é ponto de inflexão.

Passo 5

Avalie f nos pontos relevantes:
f(-1)=(-1)^5-5(-1)=-1+5=4, \qquad f(1)=1^5-5(1)=1-5=-4, \qquad f(0)=0.
Assim, o máximo relativo é \bigl(-1,4\bigr), o mínimo relativo é \bigl(1,-4\bigr) e o ponto de inflexão é \bigl(0,0\bigr).
O esboço da curva é o de uma função ímpar de quinto grau: cresce até (-1,4), decresce passando por (0,0), atinge (1,-4) e depois cresce de novo, com mudança de concavidade em x=0.

Resposta

A função é crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty) e decrescente em (-1,1).
Ela é côncava para baixo em (-\infty,0) e côncava para cima em (0,\infty).
O máximo relativo ocorre em \bigl(-1,4\bigr), o mínimo relativo em \bigl(1,-4\bigr).
O ponto de inflexão está em \bigl(0,0\bigr).
Esboço: curva ímpar de grau 5 que sobe até (-1,4), desce até (1,-4), passa em (0,0) com troca de concavidade em x=0.

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