Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– os intervalos de crescimento/decrescimento (usando ),
– os intervalos de concavidade para cima/para baixo (usando ),
– extremos relativos,
– pontos de inflexão,
– e um esboço da curva.
Para isso, vamos calcular e
, achar suas raízes e estudar o sinal em cada região.
– os intervalos de crescimento/decrescimento (usando
– os intervalos de concavidade para cima/para baixo (usando
– extremos relativos,
– pontos de inflexão,
– e um esboço da curva.
Para isso, vamos calcular
Passo 2
Calculemos a primeira derivada e os pontos críticos:
Igualando a zero:
Passo 3
Estude o sinal de
:
– Se , então
e
, ou seja,
é crescente em
e em
.
– Se , então
e
, ou seja,
é decrescente em
.
– Se
– Se
Como
passa de positivo para negativo em
, há um máximo relativo em
; e como passa de negativo para positivo em
, há um mínimo relativo em
.
Passo 4
Calculemos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
–
se
, logo concavidade para cima em
.
– se
, logo concavidade para baixo em
.
O único ponto onde é
, que é ponto de inflexão.
–
O único ponto onde
Passo 5
Avalie
nos pontos relevantes:
Assim, o máximo relativo é
, o mínimo relativo é
e o ponto de inflexão é
.
O esboço da curva é o de uma função ímpar de quinto grau: cresce até , decresce passando por
, atinge
e depois cresce de novo, com mudança de concavidade em
.
O esboço da curva é o de uma função ímpar de quinto grau: cresce até
Resposta
A função é crescente em
e em
e decrescente em
.
Ela é côncava para baixo em e côncava para cima em
.
O máximo relativo ocorre em , o mínimo relativo em
.
O ponto de inflexão está em .
Esboço: curva ímpar de grau que sobe até
, desce até
, passa em
com troca de concavidade em
.
Ela é côncava para baixo em
O máximo relativo ocorre em
O ponto de inflexão está em
Esboço: curva ímpar de grau