Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar os intervalos de crescimento e decrescimento (usando a primeira derivada), os intervalos de concavidade para cima e para baixo (usando a segunda derivada), encontrar extremos relativos e pontos de inflexão, e por fim esboçar a curva.
determinar os intervalos de crescimento e decrescimento (usando a primeira derivada), os intervalos de concavidade para cima e para baixo (usando a segunda derivada), encontrar extremos relativos e pontos de inflexão, e por fim esboçar a curva.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade:
.
Os zeros de são
e
.
– Para , escolhemos
:
, logo
é crescente em
.
– Para , escolhemos
:
, logo
é decrescente em
.
– Para , escolhemos
:
, logo
é crescente em
.
Os zeros de
– Para
– Para
– Para
Passo 3
Os pontos críticos são
e
.
– Em ,
muda de positivo para negativo, caracterizando um máximo relativo.
– Em ,
muda de negativo para positivo, caracterizando um mínimo relativo.
Calculamos os valores:
,
.
Portanto temos máximo relativo em e mínimo relativo em
.
– Em
– Em
Calculamos os valores:
Portanto temos máximo relativo em
Passo 4
Para estudar concavidade, calculamos a segunda derivada:
.
– Quando ,
, a curva é côncava para baixo em
.
– Quando ,
, a curva é côncava para cima em
.
– Quando
– Quando
Passo 5
O ponto de inflexão ocorre onde
, ou seja
.
O valor da função é
.
Logo há ponto de inflexão em .
O valor da função é
Logo há ponto de inflexão em
Passo 6
Esboço qualitativo da curva:
– A curva cresce até , atinge máximo relativo, desce até
, atinge mínimo relativo, e depois cresce indefinidamente.
– A concavidade muda em : antes côncava para baixo, depois côncava para cima.
– Para ,
; para
,
.
– A curva cresce até
– A concavidade muda em
– Para
Resposta
Função crescente em
e decrescente em
.
Concavidade para baixo em e para cima em
.
Máximo relativo em , mínimo relativo em
.
Ponto de inflexão em .
Esboço: curva cúbica com esses marcos, intercalando crescimento, decrescimento e mudança de concavidade.
Concavidade para baixo em
Máximo relativo em
Ponto de inflexão em
Esboço: curva cúbica com esses marcos, intercalando crescimento, decrescimento e mudança de concavidade.